РЕШУ УРОК — стереометрия

Задания

Тип 41 № 1450 Добавить в вариант

Справка: Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости.3. Вычисление расстояния от точки до плоскости в четырёхугольной пирамиде

В четырёхугольной пирамиде PABCD найдите расстояние от точки: а)  A до плоскости PBC; б)  от точки B до плоскости APD, если в основании лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  12 и $BC = 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ длины боковых рёбер PA  =  5, PB  =  13, PD  =  10.

Решение. Заметим, что

$PB в квадрате = 169 = 25 плюс 144 = AP в квадрате плюс AB в квадрате ,$

$PD в квадрате = 100 = 25 плюс 75 = AP в квадрате плюс AD в квадрате ,$

поэтому треугольники PAB и PAD  — прямоугольные с прямым углом A, откуда следует перпендикулярность прямой PA и плоскости ABCD.

а)  Прямая BC перпендикулярна прямым AB и AP соответственно, поэтому прямая BC перпендикулярна всей плоскости PAB. Значит, $d левая круглая скобка A; PBC правая круглая скобка = d левая круглая скобка A; PB правая круглая скобка ,$ поскольку перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую PB, будет перпендикулярен также прямой BC, ведь он лежит в плоскости PAB. Далее,

$d левая круглая скобка A; PB правая круглая скобка = дробь: числитель: 2S_PAB, знаменатель: PB конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби PA умножить на AB, знаменатель: PB конец дроби = дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби .$

б)  Имеем $d левая круглая скобка B; APD правая круглая скобка = BA = 12,$ поскольку прямая BA перпендикулярна прямым PA и AD соответственно, а потому прямая BA перпендикулярна всей плоскости APD.

Ответ: а)  $дробь: числитель: 60, знаменатель: 13 конец дроби ;$ б)  12.

Справка: Расстояние от точки до плоскости

Ключ