Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. 16. Вычисление углов между элементами правильной треугольной пирамиды
i
Найти угол между медианой одной из боковых граней правильного тетраэдра и скрещивающимся с ней ребром пирамиды.
Решение.
Пусть M и N – середины рёбер BC и AC данного тетраэдра ABCD, все рёбра которого равны a. Тогда MN – средняя линия треугольника ABC, следовательно, Значит, угол между скрещивающимися прямыми DM и AB равен углу между пересекающимися прямыми DM и MN. Так как DM и DN – высоты и медианы равносторонних треугольников BCD и ACD, можно найти
Кроме того, Точка K – середина Тогда DK – медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника Таким образом:
Значит, угол между скрещивающимися прямыми DM и AB равен углу между пересекающимися прямыми DM и MN. Так как DM и DN – высоты и медианы равносторонних треугольников BCD и ACD, можно найти 
Точка K – середина 
Тогда DK – медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника 
Таким образом:
