PDF-версии: 
Угол, который боковая грань составляет с плоскостью основания правильной шестиугольной пирамиды, равен 
Найдите угол между соседними боковыми гранями пирамиды.
Решение. Изобразим часть шестиугольной пирамиды (см. рис.). Точка О — центр основания. Проведём апофему SL боковой грани ASB и радиус вписанной в основание окружности OL. Прямая ОL является проекцией наклонной SL на плоскость основания. По теореме о трёх перпендикулярах из взаимной перпендикулярности прямых OL и AB следует взаимная перпендикулярность прямых SL и AB. Следовательно, прямые SL и OL суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями ASB и ABC, а потому угол SLO — линейный угол двугранного угла при основании. Это и есть угол α.
Построим линейный угол двугранного угла при боковом ребре. В плоскости боковой грани ASB проведём перпендикуляр AK к ребру SB. Соединим точки C и K. Треугольники SKA и SKC равны по двум сторонам и углу между ними: сторона SK общая, стороны SA и SC равны как боковые ребра правильной пирамиды, угол ASK равен углу CSK как плоские углы при вершине правильной пирамиды. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому AK = KC, а значит, треугольник AKC равнобедренный. Кроме того, 
то есть прямые AK и CK суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBA и SBC, а потому угол AKC — линейный угол двугранного угла при боковом ребре. Обозначим его δ.
Запишем формулы для площади треугольников ASB и SNB:
Выразим из этих формул длину бокового ребра SB, получим:
Ответ: 
по условию. Угол CSD искомый. 
и 
(так как правильный шестиугольник), следовательно, 
Диагонали правильного шестиугольника точкой пересечения делятся пополам, тогда 
откуда 
В равнобедренном треугольнике CSD высота SK является так же биссектрисой и медианой, следовательно, 
По теореме Пифагора найдем сторону HK:
тогда
Следовательно, 
Найдите угол, который боковая грань составляет с плоскостью основания пирамиды.
откуда
откуда
