РЕШУ УРОК, стереометрия: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 36 № 1316 Добавить в вариант

В четырёхугольной пирамиде PABCD найдите угол между прямой PC и плоскостью APB, если в основании пирамиды лежит прямоугольник ABCD, $AB=8,$ $BC=6;$ все боковые рёбра пирамиды равны 13.

Спрятать решение

Решение.

Пусть O  — основание высоты пирамиды. Поскольку все боковые ребра пирамиды равны, то все прямоугольные треугольники POA, POB, POC, POD равны по катету и гипотенузе, следовательно, $OA=OB=OC=OD,$ то есть O  — центр описанной окружности основания, точка пересечения диагоналей прямоугольника. При этом

$AC= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 64 плюс 36 конец аргумента =10,$

поэтому $AO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC=5$ и

$PO= корень из: начало аргумента: AP в квадрате минус AO в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 169 минус 25 конец аргумента =12.$

Введем координаты как показано на рисунке. Найдем теперь координаты точек $A левая круглая скобка 0;0;0 правая круглая скобка ,$ $D левая круглая скобка 0;6;0 правая круглая скобка ,$ $C левая круглая скобка 8;6;0 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка 8;0;0 правая круглая скобка ,$ $O левая круглая скобка 4;3;0 правая круглая скобка ,$ $P левая круглая скобка 4;3;12 правая круглая скобка .$ Тогда $\overrightarrowPC= левая фигурная скобка 4;3; минус 12 правая фигурная скобка .$

Пусть уравнение плоскости APB это $Ax плюс By плюс Cz плюс D=0.$ Подставляя в него координаты точек, получим

$D=0,$ $8A плюс D=0,$ $4A плюс 3B плюс 12C плюс D=0.$

Пусть $C= минус 1,$ тогда $B=4,$ $A=D=0.$ Итак, это уравнение $4y минус z=0$ и угол между прямой и плоскостью равен

$арксинус \abs дробь: числитель: 4 умножить на 0 плюс 3 умножить на 4 плюс левая круглая скобка минус 12 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: 4 в квадрате плюс 3 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 12 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента корень из: начало аргумента: 0 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби = арксинус дробь: числитель: 24, знаменатель: 13 корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $арксинус дробь: числитель: 24 корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента , знаменатель: 221 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 1316: 1317 Все

Справка: Применение векторов к решению задач

Спрятать решение · Помощь