Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки M и P лежат в одной плоскости, поэтому проведем через них прямую. Следовательно, отрезок MP — след искомого сечения. Аналогично получим отрезок NP — след искомого сечения. Проведем прямую, параллельную прямой MP, через точку N, получим отрезок QN — след искомого сечения. Точки Q и M лежат в одной плоскости, поэтому проведем через них прямую. Следовательно, отрезок QM — след искомого сечения. Четырехугольник MPNQ — искомое сечение. Грани SAD и SBC правильной пирамиды являются равными треугольниками, поэтому равны и их средние линии, то есть 
Прямые MP и QN параллельны по построению, тогда четырехугольник MPNQ — равнобокая трапеция.
Отрезок QN является средней линией треугольника SAB по построению, тогда 
Высота равнобокой трапеции, проведенная к большему основанию, делит его на два отрезка: меньший равен полуразности длин оснований, а больший — полусумме длин оснований. Следовательно, 
Отрезок MQ является средней линией единичного равностороннего треугольника, поэтому 
По теореме Пифагора для треугольника MQH получаем:
Таким образом,
Ответ: 