Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки M и P лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MP, который является невидимым. Аналогично строим невидимый отрезок NP. Параллельно перенесем прямую MP, получим невидимый отрезок 
Точки M и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MQ. Он видимый, тогда соединяем точки сплошной линией. Получим MQNP — искомое сечение.
Из условия P, N, M — середины стороны. По построению QN параллельно MP, тогда MQNP — трапеция.
По построению точка Q середина стороны. Так как пирамида является правильной, в основании лежит квадрат, по условию все ребра равны, тогда грани — равносторонние треугольники. Заметим, что NP, QN, QM являются средними линиями треугольников SBC, SBA, ASD соответственно. Так как все треугольники равны, то 
Следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Пусть QH, NK — высоты трапеции. Так как трапеция равнобедренная, треугольники MQH и NKP равны, тогда 
а 
Следовательно, 
Рассмотрим прямоугольный треугольник MQH, в котором 
По теореме Пифагора найдем 
Ответ: 