Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — невидимый отрезок MN. Аналогично получаем видимый отрезок MP. Продлим прямую MN и проведем прямую, проходящую через точку P, до точки пересечения S. Прямая PS пересечет ребро
в точке Q, получаем невидимый отрезок 
Точки N и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — видимый отрезок NQ. Получим MNQP — искомое сечение.
Из условия N, M, P — середины сторон. Так как дана правильная треугольная призма, то в основании лежат два равных правильных треугольника. Значит, точка Q середина стороны по построению. Тогда NQ является средней линией и параллельна 
а 
параллельна 
Тогда MNQP — трапеция.
Призма правильная, все ребра которой равны по условию, точка Q середина стороны по построению, тогда 
следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Как было сказано, NQ — средняя линия треугольника 
тогда 
Пусть QF, NH — высоты трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник 
где 
(так как призма правильная), 
По теореме Пифагора найдем 
а 
Следовательно, 
Рассмотрим прямоугольный треугольник MNH, в котором 
По теореме Пифагора найдем 
Ответ: 