Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки P и M лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок PM. Этот след видимый, тогда соединяем точки P и M сплошной линией. Точки N и M лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок NM. Этот след невидимый, тогда соединяем точки N и M штрихом. Продлим прямую MN и ребро до их пересечения. Соединим эту точку и точку P. Эта прямая пересечет ребро в точке Q. Четырехугольник MPNQ — искомое сечение.
Точка N — середина стороны, потому что по построению прямые NQ и MP параллельны, то есть точка Q — середина стороны. Следовательно, прямые NQ и MP параллельны. Отрезки MQ и NP равны, потому что являются гипотенузами равных равнобедренных прямоугольных треугольников, катеты которых равны половине ребра призмы. Таким образом, четырехугольник MNQP — равнобокая трапеция.
Отрезок QN является средней линией треугольника ABC по построению, тогда 
Высота равнобокой трапеции, проведенная к большему основанию, делит его на два отрезка: меньший равен полуразности длин оснований, а больший — полусумме длин оснований. Следовательно, 
По теореме Пифагора для треугольников AMN и MNH соответственно получаем:
Таким образом,
Ответ: 