Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки M и P лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MP. Этот след невидимый, тогда соединяем точки M и P штрихом. Аналогично получаем прямую NP. Точки N и M не лежат в одной плоскости. Проведем прямую, параллельную прямой MP, проходящую через точку N, получим точку Q, которая лежит в одной плоскости с точками N и M. Следовательно, через них можем провести прямую. След прямой — отрезок QM. Этот след видимый, тогда соединяем точки M и Q сплошной линией. Аналогично получаем видимый отрезок NQ. Четырехугольник MPNQ — искомое сечение.
Точка N — середина стороны, потому что по построению прямые NQ и MP параллельны, то есть точка Q — середина стороны. Следовательно, прямые NQ и MP параллельны. Отрезки MQ и NP равны, потому что являются гипотенузами равных прямоугольных треугольников, один из катетов которых равен ребру куба, а другой — половине его ребра. Таким образом, четырехугольник QNPM — равнобокая трапеция.
Отрезки AC и MP суть диагонали единичного квадрата, поэтому 
Отрезок QN является средней линией треугольника ABC по построению, тогда 
Высота равнобокой трапеции, проведенная к большему основанию, делит его на два отрезка: меньший равен полуразности длин оснований, а больший — полусумме длин оснований. Следовательно, 
По теореме Пифагора для треугольников CQM и MQH соответственно получаем:
Таким образом,
Ответ: 