Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Точки N и P лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — невидимый отрезок NP. Аналогично получаем невидимый отрезок MP. Так как плоскости основания куба параллельны, то параллельно перенесем прямую MP, получим видимый отрезок 
Точки M и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — невидимый отрезок MQ. Получим MQNP — искомое сечение.
Из условия N — середина стороны. По построению MP параллельна Откуда получаем, что Q — середина 
Тогда MQNP — трапеция.
Куб правильный, все ребра которого равны по условию, точка Q середина стороны по построению, тогда 
следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. В прямоугольном треугольнике QBN по теореме Пифагора, зная, что 
получаем 
Отрезок MP является диагональю квадрата, по теорем Пифагора 
Пусть QH, NF — высоты трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник MAQ, где 
(так как куб), 
По теореме Пифагора найдем 
а 
Следовательно:
Рассмотрим прямоугольный треугольник MQH, в котором 
По теореме Пифагора найдем 
Ответ: 