РЕШУ УРОК — стереометрия

Задания

Тип 11 № 398 Добавить в вариант

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. 11. Вычисление углов между элементами правильной шестиугольной призмы

В правильной шестиугольной призме, все рёбра которой равны, найдите угол между прямыми CB₁ и AF₁.

Решение. Пусть ребро шестиугольной призмы равно a. Угол AFE равен 120°, применим теорему косинусов: $AE в квадрате =AF в квадрате плюс FE в квадрате минус 2 умножить на AF умножить на FE умножить на косинус \angle AFE.$ Имеем:

$AE в квадрате =2a в квадрате плюс a в квадрате равносильно AE в квадрате =3a в квадрате равносильно AE=a корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Тогда по теореме Пифагора $AF_1 = корень из: начало аргумента: AA_1 конец аргумента в квадрате плюс A_1F_1 в квадрате =a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Так как B₁C || F₁E, достаточно найти угол между прямыми AF₁ и F₁E. Применим теорему косинусов: $AE в квадрате =AF_1 в квадрате плюс F_1E в квадрате минус 2 умножить на AF_1 умножить на F_1E умножить на косинус \angle AF_1E.$ Имеем:

$3a в квадрате =2a в квадрате плюс 2a в квадрате минус 4a в квадрате умножить на косинус \angle AF_1E равносильно 4 косинус \angle AF_1E=1 равносильно косинус \angle AF_1E= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно \angle AF_1E = арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $3a в квадрате =2a в квадрате плюс 2a в квадрате минус 4a в квадрате умножить на косинус \angle AF_1E равносильно 4 косинус \angle AF_1E=1 равносильно$
$равносильно косинус \angle AF_1E= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно \angle AF_1E = арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $3a в квадрате =2a в квадрате плюс 2a в квадрате минус 4a в квадрате умножить на косинус \angle AF_1E равносильно$
$равносильно 4 косинус \angle AF_1E=1 равносильно$
$равносильно косинус \angle AF_1E= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно \angle AF_1E = арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

Ключ