Расстояние от точки до плоскости.2. Вычисление расстояния от точки до плоскости в правильном тетраэдре
i
В правильном тетраэдре DABC, все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от центра грани BCD до плоскости ADB.
Решение.
Пусть H — середина BD, O — центр грани ABD. Тогда
Тогда как высоты равных треугольников и
поскольку медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1 считая от вершины. Значит, высота пирамиды равна
Пусть O1 — центр грани CBD. Тогда Опустим из O1 перпендикуляр на OH. Треугольники HO1T и HCO будут подобны (по двум углам - общему и прямому) с коэффициентом а поскольку то Поэтому искомое расстояние равно
как высоты равных треугольников и 
Опустим из O1 перпендикуляр на OH. Треугольники HO1T и HCO будут подобны (по двум углам - общему и прямому) с коэффициентом 
а поскольку 
то 
Поэтому искомое расстояние равно 
