Тип 42 № 1498 
Расстояние от точки до прямой.1. Вычисление расстояния от точки до прямой в правильном тетраэдре
i
В правильном тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от центра грани ABC до прямой CD.
Решение. 
Пусть H — середина AB, M — середина CD, O — центр грани ABC, T — основание перпендикуляра, опущенного из O на CD.
Поскольку 
и 
то 
Тогда 
Ясно что и 
(доказательство аналогично), поэтому
Рассмотрим теперь треугольники HMC и OTC. Они подобны по двум углам (прямому и углу при вершине C), причем 
поскольку точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 : 1. Тогда
Ответ: 
