Тип 13 № 1958 
Площади сечений. 6. Сечение — трапеция
i
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Решение. 
Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — невидимый отрезок MN. Аналогично получаем ребро MP. Продлим прямую MN и проведем прямую, проходящую через точку P, до точки пересечения S. Прямая PS пересекает ребро BC в точке Q, получаем невидимый отрезок 
Точки N и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — невидимый отрезок NQ. Получим MNQP — искомое сечение.
Из условия N — середина стороны. Так как дана правильная треугольная призма, то в основании лежат два равных правильных треугольника. Значит, точка Q середина стороны по построению. Тогда NQ является средней линией и параллельна AC, а AC параллельна 
Тогда MNQP — трапеция.
Призма правильная, все ребра которой равны по условию, точка Q середина стороны по построению, тогда 
следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Как было сказано, NQ — средняя линия треугольника ABC, тогда 
Пусть QF, NH — высоты трапеции. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNA, где 
(так как призма правильная), 
По теореме Пифагора найдем 
Так как трапеция равнобедренная, треугольники
MNH и
PFQ равны, тогда
а
Следовательно,
Рассмотрим прямоугольный треугольник
MNH, в котором
По теореме Пифагора найдем
Найдем площадь трапеции:
Ответ: 
