Изоб­ра­зим часть ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды (см. рис.). Точка О  — центр ос­но­ва­ния. Угол ASC   — плос­кий угол при вер­ши­не. Это и есть угол По­стро­им ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре. В плос­ко­сти бо­ко­вой грани ASB про­ведём пер­пен­ди­ку­ляр AK к ребру SB. Со­еди­ним точки C и K. Тре­уголь­ни­ки SKA и SKC равны по двум сто­ро­нам и углу между ними: сто­ро­на SK общая, сто­ро­ны SA и SC равны как бо­ко­вые ребра пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, угол ASK равен углу CSK как плос­кие углы при вер­ши­не пра­виль­ной пи­ра­ми­ды. Со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков равны, по­это­му AK  =  KC, а зна­чит, тре­уголь­ник AKC рав­но­бед­рен­ный. Кроме того, то есть пря­мые AK и CK суть пер­пен­ди­ку­ля­ры к ребру дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, а по­то­му угол AKC  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре. Обо­зна­чим его δ.

Вы­ра­зим вы­со­ту AK бо­ко­вой грани SAB из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KNA и ABK:

Ответ:

Изоб­ра­зим часть ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды (см. рис.). Точка О  — центр ос­но­ва­ния. Угол ASC   — плос­кий угол при вер­ши­не. Обо­зна­чим его γ. По­стро­им ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре. В плос­ко­сти бо­ко­вой грани ASB про­ведём пер­пен­ди­ку­ляр AK к ребру SB. Со­еди­ним точки C и K. Тре­уголь­ни­ки SKA и SKC равны по двум сто­ро­нам и углу между ними: сто­ро­на SK общая, сто­ро­ны SA и SC равны как бо­ко­вые ребра пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, угол ASK равен углу CSK как плос­кие углы при вер­ши­не пра­виль­ной пи­ра­ми­ды. Со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков равны, по­это­му AK  =  KC, а зна­чит, тре­уголь­ник AKC рав­но­бед­рен­ный. Кроме того, то есть пря­мые AK и CK суть пер­пен­ди­ку­ля­ры к ребру дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, а по­то­му угол AKC  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре. Это и есть угол β.

Вы­ра­зим вы­со­ту AK бо­ко­вой грани SAB из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KNA и ABK:

Ответ: