РЕШУ УРОК, стереометрия: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 43 № 1552 Добавить в вариант

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром a найдите расстояние между прямой, соединяющей центры граней $A_1B_1C_1D_1$$ и $DD_1C_1C,$ и прямой, соединяющей D и центр грани $AA_1B_1B.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть M, N, K  — центры граней A₁B₁C₁D₁, AA₁B₁B, CDD₁C₁ соответственно. Тогда MK  — средняя линия треугольника A₁CD и потому параллельна плоскости A₁DB (содержащей прямую A₁D). Эта плоскость содержит и точку N  — середину A₁B. Значит,

$d левая круглая скобка MK,ND правая круглая скобка =d левая круглая скобка MK,DA_1B правая круглая скобка =d левая круглая скобка M,A_1BD правая круглая скобка .$

Введем координаты как показано на рисунке и найдем координаты некоторых точек. Имеем: $D левая круглая скобка a;0;0 правая круглая скобка ,$ $D левая круглая скобка 0;a;0 правая круглая скобка ,$ $A_1 левая круглая скобка 0;0;a правая круглая скобка ,$ $M левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a; a правая круглая скобка .$

Уравнение плоскости A₁BD легко угадать, это $x плюс y плюс z минус a=0.$ Значит, расстояние от точки M до этой плоскости равно

$\abs дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби a плюс a минус a, знаменатель: корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 1 в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: a, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$

Аналоги к заданию № 1552: 1553 Все

Спрятать решение · Помощь