Ре­ше­ние.

Будем счи­тать, что ребро куба имеет длину 4 (если из­ме­нить раз­мер куба, но по­ста­вить все точки в со­от­вет­ству­ю­щие места, со­хра­няя все от­но­ше­ния от­рез­ков, это из­ме­нит все рас­сто­я­ния во столь­ко же раз, по­это­му ответ нужно будет умно­жить на ). Вве­дем ко­ор­ди­на­ты с вер­ши­ной в точке A как по­ка­за­но на ри­сун­ке и най­дем ко­ор­ди­на­ты не­об­хо­ди­мых нам точек. Имеем:

Центр грани AA₁D₁D (се­ре­ди­на от­рез­ка AD₁) имеет ко­ор­ди­на­ты а центр грани DD₁C₁C (се­ре­ди­на от­рез­ка D₁C) имеет ко­ор­ди­на­ты по­это­му на­прав­ля­ю­щий век­тор про­хо­дя­щей через них пря­мой это или кол­ли­не­ар­ный ему Ко­ор­ди­на­ты точки M:

то есть Зна­чит, на­прав­ля­ю­щий век­тор пря­мой CM это

Най­дем век­тор, пер­пен­ди­ку­ляр­ный им обоим. Пусть его ко­ор­ди­на­ты это тогда для пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но чтобы

Возь­мем тогда и Итак, под­хо­дит век­тор, рав­ный или кол­ли­не­ар­ный ему

Рас­смот­рим те­перь плос­кость ее век­тор нор­ма­ли пер­пен­ди­ку­ля­рен обоим на­прав­ля­ю­щим век­то­рам пря­мых, зна­чит, она па­рал­лель­на обеим пря­мым или со­дер­жит их. Вы­бе­рем D так, чтобы плос­кость со­дер­жа­ла, на­при­мер, цен­тры гра­ней. Под­ста­вим точку и по­лу­чим от­ку­да

Итак, плос­кость со­дер­жит одну пря­мую и па­рал­лель­на дру­гой, по­это­му рас­сто­я­ние между пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию от любой точки вто­рой пря­мой (на­при­мер точки C) до этой плос­ко­сти. По­лу­ча­ем

Окон­ча­тель­ный ответ

Ответ: