Расстояние между прямыми.1. Вычисление расстояния между прямыми в кубе
i
В кубе с ребром a найдите расстояние между прямыми, проходящими через точки C и M (M делит отрезок в отношении считая от D) и центры граней и соответственно.
Решение.
Будем считать, что ребро куба имеет длину 4 (если изменить размер куба, но поставить все точки в соответствующие места, сохраняя все отношения отрезков, это изменит все расстояния во столько же раз, поэтому ответ нужно будет умножить на ). Введем координаты с вершиной в точке A как показано на рисунке и найдем координаты необходимых нам точек. Имеем:
Центр грани AA1D1D (середина отрезка AD1) имеет координаты а центр грани DD1C1C (середина отрезка D1C) имеет координаты поэтому направляющий вектор проходящей через них прямой это или коллинеарный ему Координаты точки M:
то есть Значит, направляющий вектор прямой CM это
Найдем вектор, перпендикулярный им обоим. Пусть его координаты это тогда для перпендикулярности необходимо и достаточно чтобы
Возьмем тогда и Итак, подходит вектор, равный или коллинеарный ему
Рассмотрим теперь плоскость ее вектор нормали перпендикулярен обоим направляющим векторам прямых, значит, она параллельна обеим прямым или содержит их. Выберем D так, чтобы плоскость содержала, например, центры граней. Подставим точку и получим откуда
Итак, плоскость содержит одну прямую и параллельна другой, поэтому расстояние между прямыми равно расстоянию от любой точки второй прямой (например точки C) до этой плоскости. Получаем
Расстояние между прямыми.1. Вычисление расстояния между прямыми в кубе
i
В кубе с ребром a найдите расстояние между прямыми, проходящими через точки D и M (M делит отрезок в отношении считая от C) и центры граней и соответственно.
с ребром a найдите расстояние между прямыми, проходящими через точки C и M (M делит отрезок 
в отношении 
считая от D) и центры граней 
и 
соответственно.
). Введем координаты с вершиной в точке A как показано на рисунке и найдем координаты необходимых нам точек. Имеем: 
а центр грани DD1C1C (середина отрезка D1C) имеет координаты 
поэтому направляющий вектор проходящей через них прямой это 
или коллинеарный ему 
Координаты точки M:
Значит, направляющий вектор прямой CM это 
тогда для перпендикулярности необходимо и достаточно чтобы 
тогда 
и 
Итак, подходит вектор, равный 
или коллинеарный ему 
ее вектор нормали перпендикулярен обоим направляющим векторам прямых, значит, она параллельна обеим прямым или содержит их. Выберем D так, чтобы плоскость содержала, например, центры граней. Подставим точку 
и получим 
откуда 
содержит одну прямую и параллельна другой, поэтому расстояние между прямыми равно расстоянию от любой точки второй прямой (например точки C) до этой плоскости. Получаем 
в отношении 
считая от C) и центры граней 
и 
соответственно.