При сим­мет­рии вер­ши­ны куба долж­ны пе­ре­хо­дить в вер­ши­ны, по­сколь­ку это един­ствен­ные точки куба, не ле­жа­щие ни на каком от­рез­ке с кон­ца­ми в дру­гих точ­ках куба и это свой­ство, оче­вид­но, со­хра­ня­ет­ся при осе­вой сим­мет­рии. Зна­чит, вер­ши­ны долж­ны раз­бить­ся на пары сим­мет­рич­ных либо ле­жать на оси сим­мет­рии.

Если на пря­мой лежит одна вер­ши­на, то лежит и дру­гая (ведь всего вер­шин чет­ное число). Су­ще­ству­ет всего три раз­лич­ных спо­со­ба вы­брать две вер­ши­ны  — либо они лежат на одном ребре, либо в кон­цах диа­го­на­ли грани, либо в кон­цах диа­го­на­ли куба. Оче­вид­но, от­но­си­тель­но любой из по­лу­чен­ных пря­мых куб не сим­мет­ри­чен.

Пусть они раз­би­ва­ют­ся на пары. Тогда от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие вер­ши­ны из каж­дой пары, долж­ны пе­ре­се­кать ось сим­мет­рии и де­лить­ся ей по­по­лам. Се­ре­ди­ны ребер куба яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми од­но­го от­рез­ка, цен­тры гра­ней - се­ре­ди­на­ми двух (диа­го­на­лей грани), центр куба  — се­ре­ди­ной че­ты­рех (диа­го­на­лей куба). Оче­вид­но, они не могут все быть диа­го­на­ля­ми куба (тогда нужно было бы взять все диа­го­на­ли, их как раз че­ты­ре, но они пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре куба и не лежат в одной плос­ко­сти, по­это­му про­ве­сти через центр общий пер­пен­ди­ку­ляр к ним нель­зя). С дру­гой сто­ро­ны, если пря­мая не про­хо­дит через центр куба, а ней не может ока­зать­ся боль­ше одной из упо­мя­ну­тых точек (цен­тров гра­ней и се­ре­дин ребер), по­это­му она точно не под­хо­дит.

До­пу­стим среди этих пар есть ребро куба, на­при­мер AB. Тогда она про­хо­дит еще через се­ре­ди­ну зна­чит, они тоже сим­мет­рич­ны друг другу. Осталь­ные вер­ши­ны тоже легко раз­бить на пары сим­мет­рич­ных ( и ). Такие пря­мые под­хо­дят и их шесть  — по одной для каж­дой пары про­ти­во­по­лож­ных ребер.

Если же ребра куба нет, то пря­мая про­хо­дит через центр грани (а зна­чит и через центр про­ти­во­по­лож­ной грани). Такие пря­мые тоже под­хо­дят, их три.

Итого есть осей сим­мет­рии  — шесть про­хо­дя­щих через се­ре­ди­ны про­ти­во­по­лож­ных ребер и три про­хо­дя­щих через цен­тры про­ти­во­по­лож­ных гра­ней.

Ответ: 9.