Сколько осей симметрии имеет куб?
При симметрии вершины куба должны переходить в вершины, поскольку это единственные точки куба, не лежащие ни на каком отрезке с концами в других точках куба и это свойство, очевидно, сохраняется при осевой симметрии. Значит, вершины должны разбиться на пары симметричных либо лежать на оси симметрии.
Если на прямой лежит одна вершина, то лежит и другая (ведь всего вершин четное число). Существует всего три различных способа выбрать две вершины — либо они лежат на одном ребре, либо в концах диагонали грани, либо в концах диагонали куба. Очевидно, относительно любой из полученных прямых куб не симметричен.
Пусть они разбиваются на пары. Тогда отрезки, соединяющие вершины из каждой пары, должны пересекать ось симметрии и делиться ей пополам. Середины ребер куба являются серединами одного отрезка, центры граней - серединами двух (диагоналей грани), центр куба — серединой четырех (диагоналей куба). Очевидно, они не могут все быть диагоналями куба (тогда нужно было бы взять все диагонали, их как раз четыре, но они пересекаются в центре куба и не лежат в одной плоскости, поэтому провести через центр общий перпендикуляр к ним нельзя). С другой стороны, если прямая не проходит через центр куба, а ней не может оказаться больше одной из упомянутых точек (центров граней и середин ребер), поэтому она точно не подходит.
Допустим среди этих пар есть ребро куба, например AB. Тогда она проходит еще через середину 
значит, они тоже симметричны друг другу. Остальные вершины тоже легко разбить на пары симметричных (
и 
). Такие прямые подходят и их шесть — по одной для каждой пары противоположных ребер.
Если же ребра куба нет, то прямая проходит через центр грани (а значит и через центр противоположной грани). Такие прямые тоже подходят, их три.
Итого есть 
осей симметрии — шесть проходящих через середины противоположных ребер и три проходящих через центры противоположных граней.
Ответ: 9.
Наверх