Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Отрезок MN совпадает с ребром пирамиды и является следом искомого сечения. Точки N и P принадлежат одной плоскости, поэтому проведем через них прямую. Отрезок NP является следом искомого сечения. Проведем прямую QP параллельно прямой MN, получим отрезок QP, являющийся следом искомого сечения. Точки M и Q лежат в одной плоскости, соединим их, получим отрезок MQ, являющийся следом искомого сечения. Четырехугольник MNPQ — искомое сечение. Грани SMB и SNC правильной пирамиды являются равными треугольниками, поэтому равны и их медианы, то есть 
Прямые MN и QP параллельны по построению, тогда четырехугольник MNPQ — равнобокая трапеция.
Отрезок QP является средней линией треугольника SBC по построению, тогда 
Высота равнобокой трапеции, проведенная к большему основанию, делит его на два отрезка: меньший равен полуразности длин оснований, а больший — полусумме длин оснований. Следовательно, 
Отрезок MQ является медианой, высотой и биссектрисой единичного равностороннего треугольника, поэтому 
По теореме Пифагора для треугольника MQH получаем:
Таким образом,
Ответ: 