Тип 13 № 1954 
Площади сечений. 6. Сечение — трапеция
i
Докажите, что сечение многогранника, проходящее через точки M, N и P — трапеция, и найдите площадь этого сечения. Считайте, что многогранник правильный, длины всех рёбер равны 1, точки M, N и P — вершины или середины рёбер.
Решение. 
Точки M и N лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — ребро MN. Аналогично строим видимую прямую NP. Так как MN является линией пересечения двух плоскостей, то параллельно перенесем ее, получим невидимый отрезок 
Точки M и Q лежат в одной плоскости, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MQ. Он невидимый, тогда соединяем точки штрихом. Получим MQPN — искомое сечение.
Из условия P — середина стороны. По построению QP параллельно MN и не равно, тогда MQPN — трапеция.
Точки P и Q середины сторон по условию и построению соответственно. Так как пирамида является правильной, в основании лежит квадрат, по условию все ребра равны, тогда грани — равносторонние треугольники. Тогда 
следовательно, трапеция равнобедренная, ее площадь равна полусумме оснований на высоту. Пусть QH, PD — высоты трапеции. Заметим, что QP средняя линия треугольника SBC, тогда 
Так как Q середина стороны равностороннего треугольника, то MQ является медианой, биссектрисой и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник MQS, где 
По теореме Пифагора найдем 
Так как трапеция равнобедренная, треугольники
MQH и
PDN равны, тогда
а
Следовательно,
Рассмотрим прямоугольный треугольник
MQH, в котором
По теореме Пифагора найдем
Найдем площадь трапеции:
Ответ:
