Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 11 № 402
i

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме, все рёбра ко­то­рой равны, най­ди­те угол между пря­мы­ми EF1 и CM.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­стро­им точку I в плос­ко­сти ниж­не­го ос­но­ва­ния приз­мы (см. рис.). Пусть ребро пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы равно a. В тре­уголь­ни­ке IED при­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов: IE в квад­ра­те =ED в квад­ра­те плюс ID в квад­ра­те минус 2 умно­жить на ED умно­жить на ID умно­жить на ко­си­нус \angle EDI. Имеем:

IE в квад­ра­те =a в квад­ра­те плюс 4a в квад­ра­те минус 4a в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но IE в квад­ра­те =7a в квад­ра­те рав­но­силь­но IE=a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

В тре­уголь­ни­ке EFF1 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём EF1: EF_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: EF в квад­ра­те плюс FF_1 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те =a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Так как IF = EI, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём IF1: IF_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс 7a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та . Снова при­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов: F_1I в квад­ра­те =F_1E в квад­ра­те плюс EI в квад­ра­те минус 2 умно­жить на F_1E умно­жить на EI умно­жить на ко­си­нус \angle F_1EI. Имеем:

8a в квад­ра­те =2a в квад­ра­те плюс 7a в квад­ра­те минус 2a в квад­ра­те умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус \angle F_1EI рав­но­силь­но 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­си­нус \angle F_1EI = 1 рав­но­силь­но ко­си­нус \angle F_1EI = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Таким об­ра­зом, ис­ко­мый угол будет равен арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та конец дроби .


Аналоги к заданию № 402: 403 Все

Справка: Угол между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025