Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 23 № 834
i

Шар впи­сан в пра­виль­ную n-уголь­ную пи­ра­ми­ду, плос­кий угол при вер­ши­не ко­то­рой равен гамма , а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна a. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если бы был из­ве­стен угол β, ре­ше­ние со­стоя ло бы из трех шагов:

OK = r_вп = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \ctg дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: n конец дроби ,

OT = r_вп умно­жить на тан­генс дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \ctg дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов , зна­ме­на­тель: n конец дроби тан­генс дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , \qquad левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

S_сф = 4 Пи r в квад­ра­те = 4 Пи дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \ctg в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: n конец дроби тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \ctg в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: n конец дроби тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Оста­лось вы­ра­зить тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби через угол γ:

дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \ctg дробь: чис­ли­тель: гамма , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = SK = дробь: чис­ли­тель: r_вп, зна­ме­на­тель: ко­си­нус бета конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a \ctg дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: n конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус бета конец дроби ,

то есть ко­си­нус бета = тан­генс дробь: чис­ли­тель: гамма , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \ctg дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: n конец дроби , от­ку­да

тан­генс в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус бета , зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­си­нус бета конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс гамма \ctg дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: n конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс дробь: чис­ли­тель: гамма , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \ctg дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: n конец дроби конец дроби .

Итак, S_сф = a в квад­ра­те \ctg в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: n конец дроби дробь: чис­ли­тель: 1 минус тан­генс дробь: чис­ли­тель: гамма , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \ctg дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: n конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 плюс тан­генс дробь: чис­ли­тель: гамма , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \ctg дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: n конец дроби конец дроби .

 

 

 

При­ме­ча­ние.

Фор­му­ла r = дробь: чис­ли­тель: 3V, зна­ме­на­тель: S конец дроби , столь по­лез­ная во мно­гих за­да­чах, в дан­ном слу­чае за не­сколь­ко шагов лишь даёт вы­ра­же­ние (⁎), оче­вид­ное сразу:

S_осн = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a r_вп n,

S_бок = p умно­жить на SK = дробь: чис­ли­тель: an, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби дробь: чис­ли­тель: r_вп, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \beat конец дроби ,

S_полн = дробь: чис­ли­тель: an, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби r_вп левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус бета конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

SO = r_вп тан­генс бета ,

r = дробь: чис­ли­тель: 3V, зна­ме­на­тель: S_полн конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_осн умно­жить на SO, зна­ме­на­тель: S_полн конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: an, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби r_вп умно­жить на r_вп тан­генс бета , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: a_n, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби r_вп умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус бета плюс 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус бета конец дроби конец дроби = r_вп дробь: чис­ли­тель: синус бета , зна­ме­на­тель: ко­си­нус бета плюс 1 конец дроби = r_вп дробь: чис­ли­тель: 2 синус дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = r_вп тан­генс дробь: чис­ли­тель: бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .


Аналоги к заданию № 834: 835 Все

Справка: Впи­сан­ные сферы
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025