Тип 41 № 1442 
Расстояние от точки до плоскости.2. Вычисление расстояния от точки до плоскости в правильном тетраэдре
i
В правильном тетраэдре DABC, все рёбра которого равны 4, найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.
Решение. Искомое расстояние равно высоте тетраэдра. Точка D проецируется в точку H — центр треугольника ABC, DH — высота тетраэдра. Проведем отрезок CM — медиану треугольника ABC. Так как AC = 4, AM = 2, применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ACM и найдем длину CM:
Так как точка H является точкой пересечения медиан треугольника, она делит отрезок CM в отношении 2 : 1, считая от вершины. Таким образом, 
По теореме Пифагора в треугольнике CHD:
Таким образом, расстояние от точки D до плоскости ABC равно 
Ответ:
