Изоб­ра­зим часть ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды (см. рис.). Точка О  — центр ос­но­ва­ния. Про­ведём апо­фе­му SL бо­ко­вой грани ASB и ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти OL. Пря­мая ОL яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной SL на плос­кость ос­но­ва­ния. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах из вза­им­ной пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мых OL и AB сле­ду­ет вза­им­ная пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых SL и AB. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые SL и OL суть пер­пен­ди­ку­ля­ры к ребру дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ASB и ABC, а по­то­му угол SLO  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии. Это и есть угол α.

По­стро­им ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре. В плос­ко­сти бо­ко­вой грани ASB про­ведём пер­пен­ди­ку­ляр AK к ребру SB. Со­еди­ним точки C и K. Тре­уголь­ни­ки SKA и SKC равны по двум сто­ро­нам и углу между ними: сто­ро­на SK общая, сто­ро­ны SA и SC равны как бо­ко­вые ребра пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, угол ASK равен углу CSK как плос­кие углы при вер­ши­не пра­виль­ной пи­ра­ми­ды. Со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков равны, по­это­му AK  =  KC, а зна­чит, тре­уголь­ник AKC рав­но­бед­рен­ный. Кроме того, то есть пря­мые AK и CK суть пер­пен­ди­ку­ля­ры к ребру дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, а по­то­му угол AKC  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре. Обо­зна­чим его δ.

За­пи­шем фор­му­лы для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ASB и SNB:

Вы­ра­зим из этих фор­мул длину бо­ко­во­го ребра SB, по­лу­чим:

Ответ:

Изоб­ра­зим часть ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды (см. рис.). Точка О  — центр ос­но­ва­ния. По­стро­им ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре. В плос­ко­сти бо­ко­вой грани ASB про­ведём пер­пен­ди­ку­ляр AK к ребру SB. Со­еди­ним точки C и K. Тре­уголь­ни­ки SKA и SKC равны по двум сто­ро­нам и углу между ними: сто­ро­на SK общая, сто­ро­ны SA и SC равны как бо­ко­вые ребра пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, угол ASK равен углу CSK как плос­кие углы при вер­ши­не пра­виль­ной пи­ра­ми­ды. Со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков равны, по­это­му AK  =  KC, а зна­чит, тре­уголь­ник AKC рав­но­бед­рен­ный. Кроме того, то есть пря­мые AK и CK суть пер­пен­ди­ку­ля­ры к ребру дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, а по­то­му угол AKC  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре. Это и есть угол α.

Про­ведём апо­фе­му SL бо­ко­вой грани ASB и ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти OL. Пря­мая ОL яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной SL на плос­кость ос­но­ва­ния. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах из вза­им­ной пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мых OL и AB сле­ду­ет вза­им­ная пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых SL и AB. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые SL и OL суть пер­пен­ди­ку­ля­ры к ребру дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ASB и ABC, а по­то­му угол SLO  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии. Обо­зна­чим его β.

За­пи­шем фор­му­лы для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ASB и SNB:

Вы­ра­зим из этих фор­мул длину бо­ко­во­го ребра SB, по­лу­чим:

Ответ:

Так как ше­сти­уголь­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то все бо­ко­вые ребра равны и в ос­но­ва­нии лежит пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник. Пусть сто­ро­ны ше­сти­уголь­ни­ка равны еди­ни­це. Вы­со­та пи­ра­ми­ды SH. Угол SKH равен по усло­вию. Угол CSD ис­ко­мый.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник CKH, в ко­то­ром и (так как пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник), сле­до­ва­тель­но, Диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, тогда от­ку­да В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке CSD вы­со­та SK яв­ля­ет­ся так же бис­сек­три­сой и ме­ди­а­ной, сле­до­ва­тель­но, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем сто­ро­ну HK:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке SHK най­дем сто­ро­ну SK:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник CKS. Сто­ро­на тогда

Ответ:

Ответ:

Изоб­ра­зим часть ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды (см. рис.). Точка О  — центр ос­но­ва­ния. Угол ASC   — плос­кий угол при вер­ши­не. Это и есть угол По­стро­им ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре. В плос­ко­сти бо­ко­вой грани ASB про­ведём пер­пен­ди­ку­ляр AK к ребру SB. Со­еди­ним точки C и K. Тре­уголь­ни­ки SKA и SKC равны по двум сто­ро­нам и углу между ними: сто­ро­на SK общая, сто­ро­ны SA и SC равны как бо­ко­вые ребра пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, угол ASK равен углу CSK как плос­кие углы при вер­ши­не пра­виль­ной пи­ра­ми­ды. Со­от­вет­ствен­ные эле­мен­ты рав­ных тре­уголь­ни­ков равны, по­это­му AK  =  KC, а зна­чит, тре­уголь­ник AKC рав­но­бед­рен­ный. Кроме того, то есть пря­мые AK и CK суть пер­пен­ди­ку­ля­ры к ребру дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, а по­то­му угол AKC  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при бо­ко­вом ребре. Обо­зна­чим его δ.

Вы­ра­зим вы­со­ту AK бо­ко­вой грани SAB из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KNA и ABK:

Ответ: