РЕШУ УРОК — стереометрия

11. Вычисление углов между элементами правильной шестиугольной призмы

1.  Тип 11 № 398 Добавить в вариант

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. 11. Вычисление углов между элементами правильной шестиугольной призмы

В правильной шестиугольной призме, все рёбра которой равны, найдите угол между прямыми CB₁ и AF₁.

Решение. Пусть ребро шестиугольной призмы равно a. Угол AFE равен 120°, применим теорему косинусов: $AE в квадрате =AF в квадрате плюс FE в квадрате минус 2 умножить на AF умножить на FE умножить на косинус \angle AFE.$ Имеем:

$AE в квадрате =2a в квадрате плюс a в квадрате равносильно AE в квадрате =3a в квадрате равносильно AE=a корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Тогда по теореме Пифагора $AF_1 = корень из: начало аргумента: AA_1 конец аргумента в квадрате плюс A_1F_1 в квадрате =a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Так как B₁C || F₁E, достаточно найти угол между прямыми AF₁ и F₁E. Применим теорему косинусов: $AE в квадрате =AF_1 в квадрате плюс F_1E в квадрате минус 2 умножить на AF_1 умножить на F_1E умножить на косинус \angle AF_1E.$ Имеем:

$3a в квадрате =2a в квадрате плюс 2a в квадрате минус 4a в квадрате умножить на косинус \angle AF_1E равносильно 4 косинус \angle AF_1E=1 равносильно косинус \angle AF_1E= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно \angle AF_1E = арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $3a в квадрате =2a в квадрате плюс 2a в квадрате минус 4a в квадрате умножить на косинус \angle AF_1E равносильно 4 косинус \angle AF_1E=1 равносильно$
$равносильно косинус \angle AF_1E= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно \angle AF_1E = арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$ $3a в квадрате =2a в квадрате плюс 2a в квадрате минус 4a в квадрате умножить на косинус \angle AF_1E равносильно$
$равносильно 4 косинус \angle AF_1E=1 равносильно$
$равносильно косинус \angle AF_1E= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно \angle AF_1E = арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

2.  Тип 11 № 399 Добавить в вариант

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

В правильной шестиугольной призме, все рёбра которой равны, найдите угол между прямыми BC и DE₁.

Решение. Ответ: $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

3.  Тип 11 № 400 Добавить в вариант

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

В правильной шестиугольной призме, все рёбра которой равны, найдите угол между прямыми AB₁ и BE₁.

Решение. Достроим грань EDD₁E₁ до DD₁ZI (см. рис.). Пусть ребро шестиугольной призмы равно a. По теореме Пифагора $BE_1 = корень из: начало аргумента: a в квадрате плюс 4a в квадрате конец аргумента =a корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;$ $E_1I= корень из: начало аргумента: A в квадрате плюс a в квадрате конец аргумента =a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Угол BEI равен 120°, применим теорему косинусов: $BI в квадрате =DE в квадрате плюс EI в квадрате минус 2 умножить на DE умножить на EI умножить на косинус \angle BEI.$ Имеем:

$BI в квадрате =4a в квадрате плюс a в квадрате минус 4a в квадрате умножить на косинус 120 градусов равносильно BI в квадрате =7a в квадрате равносильно BI=a корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Применим теорему косинусов в треугольнике BIE₁: $BI в квадрате =IE_1 в квадрате плюс BE_1 в квадрате минус 2 умножить на IE_1 умножить на BE_1 умножить на косинус \angle IE_1B.$ Имеем:

$7a в квадрате =5a в квадрате плюс 2a в квадрате минус 2 умножить на a в квадрате умножить на косинус \angle IE_1B равносильно 7a в квадрате =7a в квадрате минус 2 умножить на a в квадрате умножить на косинус \angle IE_1B равносильно косинус \angle IE_1B=0.$ $7a в квадрате =5a в квадрате плюс 2a в квадрате минус 2 умножить на a в квадрате умножить на косинус \angle IE_1B равносильно$
$равносильно 7a в квадрате =7a в квадрате минус 2 умножить на a в квадрате умножить на косинус \angle IE_1B равносильно косинус \angle IE_1B=0.$

Таким образом, искомый угол равен 90°.

Ответ: $90 градусов.$

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

4.  Тип 11 № 401 Добавить в вариант

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

В правильной шестиугольной призме, все рёбра которой равны, найдите угол между прямыми AF₁ и BE.

Решение. Ответ: $45 градусов.$

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

5.  Тип 11 № 402 Добавить в вариант

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

В правильной шестиугольной призме, все рёбра которой равны, найдите угол между прямыми EF₁ и CM.

Решение. Построим точку I в плоскости нижнего основания призмы (см. рис.). Пусть ребро правильной шестиугольной призмы равно a. В треугольнике IED применим теорему косинусов: $IE в квадрате =ED в квадрате плюс ID в квадрате минус 2 умножить на ED умножить на ID умножить на косинус \angle EDI.$ Имеем:

$IE в квадрате =a в квадрате плюс 4a в квадрате минус 4a в квадрате умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка равносильно IE в квадрате =7a в квадрате равносильно IE=a корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

В треугольнике EFF₁ по теореме Пифагора найдём EF₁: $EF_1= корень из: начало аргумента: EF в квадрате плюс FF_1 конец аргумента в квадрате =a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Так как IF = EI, по теореме Пифагора найдём IF₁: $IF_1= корень из: начало аргумента: a в квадрате плюс 7a в квадрате конец аргумента =a корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента .$ Снова применим теорему косинусов: $F_1I в квадрате =F_1E в квадрате плюс EI в квадрате минус 2 умножить на F_1E умножить на EI умножить на косинус \angle F_1EI.$ Имеем:

$8a в квадрате =2a в квадрате плюс 7a в квадрате минус 2a в квадрате умножить на корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента умножить на косинус \angle F_1EI равносильно 2 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента умножить на косинус \angle F_1EI = 1 равносильно косинус \angle F_1EI = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента конец дроби .$ $8a в квадрате =2a в квадрате плюс 7a в квадрате минус 2a в квадрате умножить на корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента умножить на косинус \angle F_1EI равносильно$
$равносильно 2 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента умножить на косинус \angle F_1EI = 1 равносильно косинус \angle F_1EI = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента конец дроби .$

Таким образом, искомый угол будет равен $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента конец дроби .$

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

6.  Тип 11 № 403 Добавить в вариант

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

В правильной шестиугольной призме, все рёбра которой равны, найдите угол между прямыми MC₁ и FC.

Решение. Ответ: $арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента конец дроби .$

Справка: Угол между скрещивающимися прямыми

Ключ